Con números se puede demostrar cualquier cosa.: Bitácora 10

Fractal

Los fractales se han convertido en parte de nuestra vida sin siquiera darnos cuenta, pues nos hace falta tener los lentes matemáticos para observar todo lo que esta a nuestro alrededor relacionado con las matemáticas, entonces los fractales los podemos encontrar en la naturaleza o en obras de arte, y más.

Para dar una definición general de los fractales es complicado porque muchas de estas definiciones no se pueden aplicar a todas las familias de fractales existentes. Pero todos los fractales tienen algo en común, ya que todos ellos son el producto de la iteración o repetición de un proceso geométrico elemental que da lugar a una estructura final extraordinaria. Es decir que cada porción del objeto tiene la información necesaria para reproducirlo todo.

Yo escogí un fractal denominado: “disco de Siegel”, de los Conjuntos de Julia. Este fractal lleva el nombre de su creados Gaston Julia, un matemático francés que en el año 1918 publicó sus trabajos acercas de estos conjuntos de fractales, y se han convertidos en uno de los fractales más conocidos de la actualidad.

Julia fue un precursor en lo que hoy se conoce como fractales. Fue el primero en estudiar el tema y en explicar cómo a partir de cualquier función compleja se puede fabricar, por medio de una sucesión definida por inducción, un conjunto cuya frontera es imposible de dibujar a pulso por ser de longitud infinita, entre otras propiedades.

A finales de los ochenta, los artistas se interesaron en el conjunto de Mandelbrot y, en menor medida, en los conjuntos de Julia, que están intrínsecamente relacionados.

Los conjuntos de Julia se definen a través de una función racional definida en el plano complejo Z. Tomada una función R(z[n+1]) = P(z[n]) / Q(z[n]), donde P(z[n]) y Q(z[n]) son polinomios definidos en Z y la n representa el valor de z en la n-ésima iteración, el conjunto de Julia asociado a R incluye a todos los puntos del plano complejo tales que al aplicarles un número n de veces la función R el resultado siempre se encuentra dentro de un determinado límite, es decir, el resultado no tiende a infinito, sino que está acotado por un cierto valor.

Un ejemplo de conjuntos de Julia son los formados por la familia cuadrática, que está definida por la siguiente ecuación de recurrencia:

z(n+1) = z(n)^2 + c

Un ejemplo de estos fractales de esta familia es el obtenido tomando determinados valores de c, es el que aparece en la siguiente figura llamado “disco de Siegel”, con un valor de c = -0’391 + 0’587i.