jueves, 11 de octubre de 2012

Bitácora 9, Teselación


Maurits Cornelis Escher (1898-1972)


Nació en Leenwarden (países bajos), Como dato curioso fue malo para la escuela a excepción del dibujo, cuando era joven le agradó la técnica del grabado y la xilografía, que posteriormente utilizaría en sus obras.

Es uno de los grandes artistas gráficos del siglo XX, esto es debido a que un gran número de personas admiran y encuentran intrigantes sus obras. Dado que sus obras guardan una similitud entre sí, son fácilmente reconocidas por ejemplo: sus figuras imposibles y teselados.
El análisis de sus obras, tal como definió Bruno Ernst, uno de sus biógrafos, permite clasificarlas básicamente en tres temas:

La estructura del espacio: Incluyendo paisajes, compenetración de mundo y cuerpos matemáticos.

La estructura de la superficie: Metamorfosis, ciclos y aproximaciones al infinito.

La proyección del espacio tridimensional en el plano: Representación pictórica tradicional, perspectiva y figuras imposibles.

Aún sin ser matemático sus obras muestran un gran interés y una profunda comprensión de los conceptos geométricos, por lo que también es uno de los artistas más populares en entornos científicos, especialmente matemáticos e informáticos. A lo largo de su carrera dejó  más de 400 litografías y grabados en madera, y también unos 2000 dibujos y borradores.

Como se mencionó aún sin ser matemático sus obras de teselación muestras una gran variedad de transformaciones geométricas que a continuación observaremos:

Rotación: Es una transformación que sus  movimientos son directos en el cual se mantienen la forma y el tamaño de las figuras, rotando mediante un punto central y con grados determinados.

Mueve el deslizador para observar cómo se rota la imagen, y también puedes mover los puntos para que observes cómo se mantiene el tamaño y forma.
  


Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com Translación: Es una transformación por medio de la cual hace que las figuras mantengan la forma y tamaño, las cuales se deslizan según un vector.

Mueve el deslizador y los puntos para que observes cómo se mantiene la simetría de la otra figura.


Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com Simetría Axial: Es una transformación que hace corresponder cada uno de los puntos de las dos figuras, con respecto a el eje trazado de forma perpendicular a las dos figuras.

Mueve cualquiera de los puntos y observa cómo la simetría se mantiene entre las dos figuras geométricas.

Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com Simetría puntual: Es una transformación que hace corresponder cada punto con otro, teniendo un punto medio.

Mueve los puntos de la figura de la derecha y observa cómo mantiene la simetría la figura de la izquierda.


Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com Homotecia: Esta transformación son figuras congruentes y están alineadas con respecto a un punto fijo.

La relación de esta construcción es de 1: alfa, mueve, agranda o disminuye la figura y observa como mantiene.




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Teselación

Los teselados son los diseños de figuras geométricas que por sí mismas o en combinación cubren una superficie plana sin dejar huecos ni superponerse, o sea, el cubrimiento del plano con figuras yuxtapuestas. 

La palabra teselado proviene de “tessellae”. Así llamaban los romanos a las construcciones y pavimentos de su ciudad.

Los teselados pueden ser:

Regulares se logran a partir de la repetición y translación de polígonos regulares.



Los demirregulares se logran a partir de la combinación de varios tipos de  polígonos regulares pero de modo que no todos los vértices tengan la misma distribución.



Los semirregulares se forman con la combinación de dos o más polígonos regulares pero distribuidos de modo tal que en todos los vértices aparezcan los mismos polígonos y en el mismo orden.

Por último, los irregulares se forman  gracias a la deformación de los lados de un polígono regular.



Por último les presento un teselado de Escher,él tubo mucha influencia de la cultura Italiana y Española lugares a donde viajo de joven.  En la siguiente imagen construirás una teselación de Escher, mediante distintas transformaciones de una figura como el rectángulo hasta llegar al teselado completo. Mueve las diferentes barras deslizadoras y observa las transformaciones.

Con los 4 deslizadores de color verde puedes armar la figura incial que es el rectángulo, en estos deslizadores se observa las transformaciones de simetría axial y translación.

con los siguientes deslizadores de color negro puedes formar el resto del teselado, mediante las transformaciones como la simetría axial y la translación.




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